DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1. FORMULES DE TAYLOR 2 La partie polynomiale f (0) + f 0 (0) x + ··· + f (n) (0) x n n! est le polynôme de degré n qui approche le mieux f ( x ) autour de x = 0. La partie x n ε ( x ) est le « reste » dans lequel ε ( x ) est une fonction qui tend vers 0 (quand x tend vers 0) et qui est négligeable devant la partie polynomiale. 1. Formules de Taylor Nous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la même partie polynomiale mais donnent plus ou moins d’informations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression exacte du reste. Puis la formule de Taylor avec reste f (n+1) ( c ) qui permet d’obtenir un encadrement du reste et nous terminons avec la formule de Taylor-Young très pratique si l’on n’a pas besoin d’information sur le reste. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert. Pour n ∈ N ∗ , on dit que f : I → R est une fonction de classe C n si f est n fois dérivable sur I et f (n) est continue. f est de classe C 0 si f est continue sur I . f est de classe C ∞ si f est de classe C n pour tout n ∈ N. 1.1. Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 1 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soit f : I → R une fonction de classe C n+1 (n ∈ N ) et soit a, x ∈ I. Alors f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a) 2! (x − a) 2 + ··· ···+ f (n) (a) n! (x − a) n + R x a f (n+1) (t) n! (x − t) n d t. Nous noterons T n (x) la partie polynomiale de la formule de Taylor (elle dépend de n mais aussi de f

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