lsa; 2 es un
contraejemplo.
Usted encontrará frecuentemente situaciones en las cuales debe decidir si un resultado
propuesto es verdadero o es falso, y proporcionar un argumento que justifique su
decisión. Si el resultado es de la forma “Todo x tiene la propiedad P(x)”, y usted
puede exhibir un contraejemplo, habrá mostrado que el resultado es falso.
4.9 VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS
EN EL CÁLCULO DE PREDICADOS
Antes de abordar este, el último tema sobre razonamientos deductivos, es conveniente
reiterar uno de los objetivos centrales de este libro: presentar una visión de conjunto
y de carácter introductorio del tema “Validez de razonamientos deductivos”.
En esta sección estudiaremos validez de razonamientos expresados en el lenguaje
del cálculo de predicados. Necesitaremos, junto a todos los elementos estudiados en
capítulos anteriores, cuatro nuevas reglas de inferencia: Particularización universal
(PU), Particularización existencial (PE), Generalización universal (GU) y Generalización
existencial (GE). Estas reglas se complementan con un resultado conocido como
Teorema de la Deducción.
Frecuentemente, el proceso para decidir sobre validez de razonamientos empieza
con la aplicación de alguna regla de particularización. Estas reglas permiten eliminar
cuantificadores, dando lugar a proposiciones, lo cual nos sitúa en terreno conocido
—el de la lógica proposicional— y nos permite aplicar reglas de inferencia conocidas.
En cuanto a las reglas de generalización, ellas permiten insertar cuantificadores en el
momento apropiado, con lo cual muchas veces se obtiene la conclusión deseada.
4.9.1 La regla de particularización universal, (PU)
Supongamos que P(x) tiene el significado “x es perfecto”. Entonces, la expresión
xP(x) afirma que todo es perfecto y, por lo tanto, para cualquier elemento t del
dominio —el universo en este caso— P(t) es una proposición verdadera, es decir, “t
es perfecto”: P(Juan) = Juan es perfecto, P(el mundo) = el mundo es perfecto, P(28)
= 28 es un número perfecto (de hecho, lo es), P(usted) = usted es perfecto, son todas
proposiciones verdaderas. No es más que la inferencia de que si todo es perfecto,
cada elemento del dominio lo es.
Capítulo 4. Lógica simbólica - Fundamentos de cálculo de predicados 203
La Regla de particularización universal (PU) generaliza la consideración del párrafo anterior:
Si A es una fórmula que contiene la variable x, y xA es una premisa en un razonamiento,
cada aparición de la variable x en A se puede sustituir por cualquier término t del dominio,
para deducir válidamente la expresión que denotaremos por A [xk t].
xA
A [xk t]
Para ilustrar esta regla de inferencia, consideremos un argumento sencillo: Todo
perro ladra. Por lo tanto, si Pluto es un perro, entonces Pluto ladra.
P
1 (x)(P(x)  L(x))
// P(Pluto)  L (Pluto) (PU en P1, xk Pluto)
La expresión en el paréntesis de la derecha en el renglón anterior se interpreta así:
(se infiere por aplicación de la regla de particularización universal en la premisa 1,
cuando x toma el valor Pluto).
Incidentalmente, observe que no se asegura que Pluto ladra, pues no se ha incluido
la premisa “Pluto es un perro”, que haría posible aplicar Modus ponens para obtener
tal conclusión. Veamos cómo establecer la validez del silogismo siguiente (aii 1) con
esta nueva herramienta:
Ejemplo 4.41 Establecer la validez del razonamiento,
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
Entonces, Sócrates es mortal.
Solución: Utilicemos los predicados H(x): x es hombre, M(x): x es mortal.
El paso siguiente es simbolizar el razonamiento:
1. x(H(x)  M(x)) Premisa Todo ser humano es mortal
2. H(Sócrates) Premisa Sócrates es un ser humano
// M(Sócrates) Conclusión: Sócrates es mortal.
Veamos el proceso de inferencias:
1. x(H(x)  M(x)) Premisa
2. H(Sócrates) Premisa
3’ H(Sócrates)  M(Sócrates) (PU, P1, [xk Sócrates])
4’ M(Sócrates) (MP entre 2 y 3)
204 Lógica y argumentación: De los argumentos inductivos a las álgebras de Boole
Observe que la aplicación de la regla de particularización universal en la premisa 1,
tiene como resultado eliminar el cuantificador universal. Las líneas 2, 3 y 4 constituyen
un argumento simple en el terreno de la lógica proposicional: “Sócrates es hombre. Si
Sócrates es hombre, entonces Sócrates es mortal. Por lo tanto Sócrates es mortal”. Su
validez se establece por simple aplicación de Modus ponens. Entonces, el razonamiento
es válido pues la conclusión se deriva en forma necesaria de las dos premisas.
Ejemplo 4.42 Establecer formalmente la validez del argumento del ejercicio 4.12
P
1 P(Juan, José).
P
2 H(Pedro, Juan).
P
3 xyz[{P(x, y) ˜ H(z, x)}  T(z, y)]
// T(Pedro, José).
Solución:
P
1 P(Juan, José). Premisa
P
2 H(Pedro, Juan). Premisa
P
3 xyz[{P(x, y) ˜ H(z, x)}  T(z,y)] Premisa
4’ P(Juan, José) ˜ H(Pedro, Juan) Conj. 1, 2
5’ [(P(Juan, José) ˜ H(Pedro, Juan)  T(Pedro, José) PU múltiple, 3: [xkJuan, ykJosé,
zkPedro]
6’ T(Pedro, José) MP; 4 y 5
En el ejemplo anterior, y en los restantes de esta sección, podrá observar que la aplicación
de reglas de particularización produce proposiciones. Esto hace que finalmente la
prueba de validez se traslade al campo ya conocido de la lógica proposicional.
4.9.2 La regla de particularización existencial (PE)
Esta regla establece que si un enunciado de existencia de la forma xP(x) es o se supone
verdadero, entonces se puede inferir la verdad de la proposición P(a), para algún
elemento a del dominio; precisamente, uno de los elementos que permite afirmar que
xP(x) es verdad. Cuando se afirma que el enunciado “Existe por lo menos un x tal que x
periodista” es verdadero, estamos afirmando que alguien, digamos Juan, es periodista.
En general, podemos inferir que hay algún valor a de la variable x, tal que la afirmación
“a es periodista”, es verdadera. La regla de particularización existencial se describe así:
xA
A [xk a]
Capítulo 4. Lógica simbólica - Fundamentos de cálculo de predicados 205
Cuando en un razonamiento intervienen premisas de la forma xA es frecuente que
intervengan también premisas del tipo xB. La razón es que casi siempre el alcance del
cuantificador universal en xA es un condicional. Por ejemplo, todos los alemanes son
disciplinados, todos los filósofos son cultos, todos los científicos son modestos, etc., son
expresiones de la forma x(P(x)  Q(x)). Sin embargo, la presencia de estos enunciados
en un razonamiento no garantiza la existencia de personas disciplinadas o cultas o
modestas, mientras el argumento no establezca la existencia de alemanes, filósofos o
científicos. Pero si se garantiza tal existencia, la aplicación combinada de particularización
existencial y particularización universal sí permite inferir la existencia de tales personas
(disciplinadas, cultas o modestas). Consideremos el ejemplo siguiente:
Ejemplo 4.43 Establecer la validez de este razonamiento: Si todos los filósofos son
personas cultas y existen filósofos, entonces existen personas cultas.
P
1 x(F(x)  C(x)) Premisa. Todos los filósofos son personas cultas.
P
2 x(F(x)) Premisa. Existen filósofos.
3’ F(a) PE, 2; [xk a]. Sea a uno de los filósofos cuya
existencia ha sido garantizada por la premisa P2.
4’ F(a) C(a) PU, 1; [xk a]. La P1 es verdadera, en particular para
el valor a, de x.
5’ C(a) MP entre 3 y 4.
6’ xC(x) El paso de 5 a 6 se justifica con la regla que veremos
en seguida, llamada Generalización Existencial: De
saber que a es una persona culta se infiere que
existen personas cultas.
4.9.3 La regla de generalización existencial (GE)
Como puede advertir en la línea 6 del ejemplo anterior, esta regla procede a inferir
que xA es verdadera, cuando se ha concluido previamente que para algún elemento
a del dominio A(a) es verdadera. La regla se denota en la forma: