第一章 函数、极限与连续

第一节 集合与函数

［课前导读］

在中学数学中，我们学习了集合和函数的概念．本节在此基础上进一步介绍函数的定义域、表达式、分类及其性质，同时给出初等函数的概念．

集合：具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素．习惯上，用大写英文字母A，B，C，…表示集合，用小写英文字母a，b，c，…表示集合的元素．a∈A表示a是集A的元素（读作a属于A），a∉A表示a不是集A的元素（读作a不属于A）．集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记为Ø．

函数：设x和y是两个变量，D是一个非空数集．如果按照某个法则f，对每个数x∈D，变量y总有唯一确定的值与之对应，则称此对应法则f为定义在D上的函数，与x对应的值y称为f在x处的函数值，记作f（x），即y=f（x）．变量x称为自变量，y称为因变量．数集D称为定义域，W={y|y=f（x），x∈D}称为函数的值域．

一、集合的概念

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素（见图1-1），则称A是B的子集，记作A⊂B（或B⊂A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）；若A⊂B且B⊃A，则称A与B相等，记作A=B；对于任何集合A，规定Ø⊂A．

图1-1

在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作N．由整数的全体构成的集合称为整数集，记为Z．用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集．显然有N⊂Z⊂Q⊂R．

一般地，如果是正整数集，则记为Z+，负整数集记为Z-，以此类推．

注　在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集．

1. 集合及其运算

集合的基本运算有四种：交、并、差、补．

设A，B是两个集合．

由同时包含于A与B的元素构成的集合（见图1-2），称为A与B的交集（简称交），记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；

图1-2

由包含于A或包含于B的所有元素构成的集合（见图1-3），称为A与B的并集（简称并），记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；

图1-3

由包含于A但不包含于B的元素构成的集合（见图1-4），称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x∉B}；

图1-4

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为U）中进行，集合A是U的子集（见图1-5），此时称U＼A为A的余集（或补集），记作CUA或AC．

图1-5

关于集合的余集，我们有如下性质．

性质1（对偶性质）　设U是一个基本集，A，B是它的两个子集，则

（1）（A∪B）C=AC∩BC；

（2）（A∩B）C=AC∪BC．

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积．

设A，B是两个非空的集合，则由有序数对（x，y）组成的集合

A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}

称为A与B的直积．

例如，设A={x｜0≤x≤1}，B={y｜0≤y≤2}，则A×B={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}，如图1-6所示．

图1-6

R×R={（x，y）|x，y∈R}即为xOy面上全体点的集合，R×R常记作R2

2. 区间

区间是高等数学课程中用得较多的一类数集．设a和b都是实数，且a<b，数集{x|a<x<b}称为开区间，记作（a，b）（见图1-7），即

（a，b）={x|a<x<b}．

a和b称为开区间（a，b）的端点，其中a为左端点，b为右端点，且a∉（a，b），b∉（a，b）．

图1-7

类似地，数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作［a，b］（见图1-8），即

［a，b］={x|a≤x≤b}．

图1-8

a和b也称为闭区间［a，b］的端点，且a∈［a，b］，b∈［a，b］．

数集{x|a≤x<b}及{x|a<x≤b}称为半开区间，分别记作［a，b）和（a，b］（见图1-9和图1-10）．

图1-9

图1-10

以上这些区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度．从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段．

此外，对于这样的集合：{x|x≥a}，{x|x>a}，{x|x≤b}，{x|x<b}，我们引进记号+∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则可用类似于有限区间的记号来表示无限的半开区间或开区间：

［a，+∞）={x|x≥a}，

（a，+∞）={x|x>a}，

（-∞，b］={x|x≤b}，

（-∞，b）={x|x<b}．

这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11～图1-14所示．

图1-11

图1-12

图1-13

图1-14

全体实数的集合R也记作（-∞，+∞），它也是无限的开区间．

以后如果不需要辩明所讨论的区间是开区间还是闭区间，是有限区间还是无限区间，我们就简单地称其为区间，用 “I”代表各种类型的区间．

3. 邻域

设a与δ为两个实数，且δ>0，数集{x｜|x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，

其中a称作U（a，δ）的中心，δ称作U（a，δ）的半径．

在数轴上，|x-a|表示点x与点a的距离，因此点a的δ邻域U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}在数轴上就表示与点a的距离小于δ的点x的全体．由于|x-a|<δ等价于-δ<x-a<δ，即a-δ<x<a+δ，所以

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}．

因此，U（a，δ）也就是开区间（a-δ，a+δ）（见图1-15）．显然，这个开区间以点a为中心，长度为2δ．

图1-15

有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作，即

图1-16

这里，0<|x-a|就表示x≠a．

为了方便，有时将开区间（a-δ，a）称为a的左邻域，而将开区间（a，a+δ）称为a的右邻域．

如果不强调半径，以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）．

二、常用函数

1. 基本初等函数

中学时我们已经学过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，统称为基本初等函数．这些函数在高等数学课程中也将大量出现，我们在这里复习一下中学学过的相关知识，便于我们开始高等数学的学习．

（1）幂函数：y=xα（α是常数）

当α∈Z+时，y=xα的定义域是R；当α∈Z-时，y=xα的定义域是R＼{0}（见图1-17）．

图1-17

当的定义域是［0，+∞）；当的定义域是（0，+∞）．幂函数的最小定义域是（0，+∞）．

（2）指数函数：y=ax（a>0，a≠1）

如图1-18、图1-19所示，由于对任意x，ax>0，且a0=1，故指数函数的图像在x轴的上方，且通过点（0，1）．

当a>1时，y=ax是单调增加函数；当0<a<1时，y=ax是单调减少函数．

以e=2.718 281 8…为底的指数函数记为y=ex，在工程技术上经常用到这个指数函数．

图1-18

图1-19

（3）对数函数：y=logax（a>0，a≠1）

对数函数y=logax（a>0，a≠1）的定义域是（0，+∞），其图像位于y轴的右方且通过点（1，0）．当a>1时，y=logax是单调增加函数（见图1-20）；当0<a<1时，y=logax是单调减少函数（见图1-21）．当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数．

图1-20

图1-21

对数具有以下运算性质：对任意的x，y∈R+，a>0，a≠1，b∈R，

（ⅰ）logax+logay=logaxy；

（ⅱ）；

（ⅲ）logaxb=blogax．

y=logax和y=ax互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，且有．进一步，我们在以后的计算中经常会用到

（4）三角函数

正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx和余割函数y=cscx统称为三角函数．

y=sinx的定义域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是奇函数（见图1-22）；

图1-22

y=cosx的定义域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是偶函数（见图1-23）；

图1-23

y=tanx的定义域是，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，在定义域上是奇函数（见图1-24）；

图1-24

y=cotx的定义域是{x|x≠kπ，k=0，±1，±2，…}，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，它是奇函数（见图1-25）；

正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为

图1-25

（5）反三角函数

定义1　在区间上的正弦函数y=sinx的反函数记作y=arcsinx，定义域为［-1，1］，值域为，称为反正弦函数（见图1-26）；

图1-26

定义2　在区间［0，π］上的余弦函数y=cosx的反函数记作y=arccosx，定义域为［-1，1］，值域为［0，π］，称为反余弦函数（见图1-27）；

图1-27

定义3　在区间上的正切函数y=tanx的反函数记作y=arctanx，定义域是（-∞，+∞），值域为，称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数（见图1-28）；定义在区间（0，π）上的余切函数y=cotx的反函数为y=arccotx，定义域是（-∞，+∞），值域为（0，π），称为反余切函数，在整个定义域上是单调递减函数（见图1-29）．

图1-28

图1-29

三角函数的反函数统称为反三角函数．

2. 几类特殊的函数

除五类基本函数以外，我们还需要了解下列函数．

例1　函数y=C，其中C为某确定的常数．它的定义域为D=（-∞，+∞），值域为W={C}，它的图形是一条平行于x轴的直线（见图1-30），这个函数称为常数函数．

图1-30

例2　函数的定义域为D=（-∞，+∞），值域W=［0，+∞），它的图形如图1-31所示，这个函数称为绝对值函数．

图1-31

例3　函数的定义域为D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，它的图形如图1-32所示，这个函数称为符号函数．

图1-32

对于任何实数x，关系式x=sgnx·|x|恒成立．

例4　设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］．函数y=［x］的定义域为D=（-∞，+∞），值域为整数集Z，它的图形如图1-33所示．可以看出，它的图形在x的整数值处出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整函数．

图1-33

比如，［0.5］=0，，［-0.5］=-1，一般地，有

［x］=n，当x∈［n，n+1），n=0，±1，±2，…．

在例2、例3等例子中看到，有时一个函数要用几个式子表示，这种自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数．分段函数在实际问题中经常出现，我们应重视对它的研究．

例5　函数是一个分段函数，它的定义域D=（-∞，+∞）．当x∈（-∞，1）时，对应的函数值f（x）=x-1；当x∈［1，+∞）时，对应的函数值f（x）=x3它的图形如图1-34所示．

图1-34

例如，-1∈（-∞，1），则f（-1）=-1-1=-2；1∈［1，+∞），则f（1）=13=1.

3. 初等函数

我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的，并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数．例如，都是初等函数，本书中讨论的函数基本上都是初等函数．对于初等函数，我们来研究一下它们的表达式和定义域．

例6　设f（x）=2x，，x≠0，x≠1，求f［g（x）］，g［f（x）］和f［f（x）］．

解

例7　求函数的定义域．

解　所给函数由，u=lnv，v=x2-3复合而成．的定义域是［0，+∞），即lnv≥0，从而v=x2-3≥1.解这个关于x的不等式，得|x|≥2.因此，函数的定义域为（-∞，-2］∪［2，+∞）．

例8　设f（x）的定义域是（0，1），求f（sinx）的定义域．

解　函数f（sinx）由f（u），u=sinx复合而成．因为f（u）的定义域为（0，1），故必有u=sinx的值域是（0，1），即sinx∈（0，1）．因此，开区间（2nπ，（2n+1）π）（n∈Z）的并即为f（sinx）的定义域．

习题1-1

1. 设A，B分别为下列两个给定的集合：

（1）A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}；

（2）A=Z+，B=N；

（3）A={x|3<x<5}，B={x|x>4}；

（4）A={x|x2+x-6<0}，B={x|x2-2x-3≤0}；

试求A∪B，A∩B，A＼B，B＼A．

2. 设U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，6，7}，求AC，BC，AC∩BC，（A∪B）C．

3. 设A，B都是集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且AC∩BC={1，3，7，9}，试求A∪B．

4. 用区间表示适合下列不等式的变量x的变化范围：

（1）2<x≤6；

（2）|x|<3；

（3）

（4）|x|>100；

（5）0<|x-1|<0.01；

（6）0<|x-2|≤5.

5. 设x∈U（1，δ）时，|2x-2|<ε，当ε分别等于0.1和0.01时，求邻域半径δ各等于多少．

6. 求下列函数的定义域：

（7）y=f（x2+1），其中f（x）的定义域是［1，2］；

（8）y=f（sinx）+f（lnx），其中f（x）的定义域是［0，1）．

7. 设求f（1），，f（-3）．

8. 设，求．

9. ，求f［g（x）］，g［f（x）］．

10. 设，求f［f（x）］和f{f［f（x）］}．

11. 设，求f（x）．

12. 设f（x）=3x2+4x，φ（t）=lg（1+t），求f［φ（t）］，φ［f（x）］及其定义域．

13. 已知函数

（1）写出f（x）的定义域，并画出函数f（x）的图形；

（2）求f（0），f（1.2），f（3），f（4）．

14. 设求复合函数f［f（x）］．

15. 试将函数f（x）=2|x-2|+|x-1|表示成分段函数，并画出它的图像．