第一章 函数、极限与连续

第一节 集合与函数

［课前导读］

在中学数学中，我们学习了集合和函数的概念．本节在此基础上进一步介绍函数的定义域、表达式、分类及其性质，同时给出初等函数的概念．

集合：具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素．习惯上，用大写英文字母A，B，C，…表示集合，用小写英文字母a，b，c，…表示集合的元素．a∈A表示a是集A的元素（读作a属于A），a∉A表示a不是集A的元素（读作a不属于A）．集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记为Ø．

函数：设x和y是两个变量，D是一个非空数集．如果按照某个法则f，对每个数x∈D，变量y总有唯一确定的值与之对应，则称此对应法则f为定义在D上的函数，与x对应的值y称为f在x处的函数值，记作f（x），即y=f（x）．变量x称为自变量，y称为因变量．数集D称为定义域，W={y|y=f（x），x∈D}称为函数的值域．

一、集合的概念

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素（见图1-1），则称A是B的子集，记作A⊂B（或B⊂A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）；若A⊂B且B⊃A，则称A与B相等，记作A=B；对于任何集合A，规定Ø⊂A．

图1-1

在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作N．由整数的全体构成的集合称为整数集，记为Z．用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集．显然有N⊂Z⊂Q⊂R．

一般地，如果是正整数集，则记为Z+，负整数集记为Z-，以此类推．

注　在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集．

1. 集合及其运算

集合的基本运算有四种：交、并、差、补．

设A，B是两个集合．

由同时包含于A与B的元素构成的集合（见图1-2），称为A与B的交集（简称交），记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；

图1-2

由包含于A或包含于B的所有元素构成的集合（见图1-3），称为A与B的并集（简称并），记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；

图1-3

由包含于A但不包含于B的元素构成的集合（见图1-4），称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x∉B}；

图1-4

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为U）中进行，集合A是U的子集（见图1-5），此时称U＼A为A的余集（或补集），记作CUA或AC．

图1-5

关于集合的余集，我们有如下性质．

性质1（对偶性质）　设U是一个基本集，A，B是它的两个子集，则

（1）（A∪B）C=AC∩BC；

（2）（A∩B）C=AC∪BC．

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积．

设A，B是两个非空的集合，则由有序数对（x，y）组成的集合

A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}

称为A与B的直积．

例如，设A={x｜0≤x≤1}，B={y｜0≤y≤2}，则A×B={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}，如图1-6所示．

图1-6

R×R={（x，y）|x，y∈R}即为xOy面上全体点的集合，R×R常记作R2

2. 区间