on 09-Jul-2018 (Mon)

mysophobia, a fear of germs

In linear algebra, a Jordan normal form (often called Jordan canonical form)^[1] of a linear operator on a finite-dimensional vector space is an upper triangular matrix of a particular form called a Jordan matrix, representing the operator with respect to some basis. Such a matrix has each non-zero off-diagonal entry equal to 1, immediately above the main diagonal (on the superdiagonal), and with identical diagonal entries to the left and below them.

Arten von Tensoren [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ] [imagelink] Das Levi-Civita-Symbol im Dreidimensionalen repräsentiert einen besonders einfachen dreistufigen Tensor.

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ \((0,0)\), Vektoren als Tensoren vom Typ \((1,0)\) und Kovektoren als Tensoren vom Typ \((0,1)\). Tensoren höherer Stufe definiert man als multilineare Abbildungen mit Tensoren geringerer Stufe als Argumente und Abbildungswerte. So kann etwa ein Tensor vom Typ \((1,1)\) als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines Körpers aus. Als Tensor vom Typ \((0,2)\) aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich einer fest gewählten Vektorraumbasis erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren:

• Ein Skalar durch eine einzelne Zahl.
• Ein Vektor durch einen Spaltenvektor.
• Ein Kovektor durch einen Zeilenvektor.
• Ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix.

Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des \(\mathbb R^3\) als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funkti

[…]

Ein Tensorfeld (unpräzise auch Tensor) wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie im Besonderen in der Tensoranalysis untersucht. Es handelt sich um eine Funktion, die auf spezielle Weise jedem Punkt eines zugrundeliegenden Raumes einen Tensor zuordnet.

Sei \(M\) eine glatte Mannigfaltigkeit und \(T^r_s(M)\) ein (r,s)-Tensorbündel. Ein (r,s)-Tensorfeld ist ein glatter Schnitt im Tensorbündel \(T^r_s(M)\). Die Menge der Tensorfelder wird mit \(\Gamma^\infty(T^r_s(M))\) bezeichnet. Diese Menge ist ein Modul über der Algebra \(C^{\infty }(M)=\Gamma ^{\infty }(T_{0}^{0}(M))\) der glatten Funktionen.

Äthiopien [ ʔɛˈtʰi̯oːpʰi̯ən ] ( amharisch ኢትዮጵያ Ityop̣p̣əya , aus altgriechisch Αἰθιοπία Aithiopia ) ist ein Binnenstaat im Nordosten Afrikas. Zur Zeit des Kaiserreichs Abessinien war das Land auch als Abessinien (seltener auch Abyssinien) bekannt. Das Land grenzt an Eritrea, den Sudan, den Südsudan, Kenia, Somalia und Dschibuti.