on 29-Nov-2023 (Wed)

根轨迹上的点必须满足相角条件和幅值条件：

- 相角条件： [...]

- 幅值条件： [...]

- 相角条件：\(\begin{gathered}\sum_{j=1}^m \angle\left(s-z_j\right)-\sum_{i=1}^n \angle\left(s-p_i\right)=(2 k+1) \pi \\k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\end{gathered}\)

- 幅值条件：\(\displaystyle K^*= \frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n\left|s-p_i\right|}{\displaystyle \prod_{j=1}^m\left|s-z_j\right|}\)

当开环有限极点数\(n\)大于有限零点数\(m\)时，有\(n-m\)条根轨迹分支沿着与实轴交角为\(\varphi_a\)、交点为\(\sigma_a\)的一组渐近线趋向无穷远处，且有

\(\displaystyle\varphi_a=\frac{(2 k+1) \pi}{n-m} ; \quad k=0,1,2, \cdots, n-m-1\)

和

\(\sigma_a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i-\sum_{j=1}^m z_j}{n-m}\)

两条或两条以上根轨迹分支在\(s\)平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标\(d\)是下列方程的解：

\(\displaystyle\sum_{j=1}^m \frac{1}{d-z_j}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{d-p_i}\)

式中，\(z_j\)为各开环零点的数值；\(p_i\)为各开环极点的数值；分离角为\(\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{n-m}\).

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以\(\theta_{p_i}\)标志；根轨迹进人开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以\(\varphi_{z_i}\)表示。这些角度可按如下关系式求出：

\(\begin{aligned}& \theta_{p_i}=(2 k+1) \pi+\left(\sum_{j=1}^m \varphi_{z_j p_i}-\sum_{\substack{j=1 \\j \neq i}}^n \theta_{p_j p_i}\right) ; \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \\& \varphi_{z_i}=(2 k+1) \pi-\left(\sum_{\substack{j=1 \\j \neq i}}^m \varphi_{z_j z_i}-\sum_{j=1}^n \theta_{p_j z_i}\right) ; \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\end{aligned}\)